Рубрика: Հանրահաշիվ

Առաջադրանքներ

Առաջադրանք 1) Լուծեք երկքառակուսային հավասարումը.

ա) x⁴ – 29x² + 100 = 0

y² – 29y + 100 = 0

D = 841 – 400 = 441

y (x) = 29 + 21 / 2 = 25, y (x) = 29 – 21 / 2 = 4

Պատ ՝ x₁ = -5, x₂ = 5, x₃ = -2, x₄ = 2

բ) 4x⁴ – 5x² + 1=0

4y² – 5y + 1 = 0

D = 25 – 16 = 9

y (x) = 5 + 3 / 8 = 1

y (x) = 5 – 3 / 8 = 1/4 = 0,25

Պատ ՝ x₁ = 1, x₂ = -1, x₃ = – 0,5, x₄ = 0,5

գ) 2x⁴ – 19x² + 9 = 0

2y² – 19y + 9 = 0

D = 361 – 72 = 289

y (x) = 19 + 17 / 4 = 9

y (x) = 19 – 17 / 4 = 0,5

x₁ = -3, x₂ = 3, x₃ = – 0,5, x₄ = 0,5

դ) x⁴ + 2x² – 80 = 0

x² = y

y² + 2y – 80 = 0

D = 4 + 320 = 324

y (x) = (-2 + 18) / 2 = 8

y (x) = (-2 – 18) / 2 = – 10

x² = 8, x² = – 10 (դատարկ բազմություն)

Առաջադրանք 2) Լուծեք երկքառակուսային հավասարումը

ա)  (x² + x)² – 5(x² + x) + 6 = 0 

(x² + x) = y  

y² – 5y + 6 = 0

D = 25 – 24 = 1

y = (5 + 1) / 2 = 3

y = (5 – 1) / 2 = 2 

(x² + x) = 3

(x² + x) = 2

x² + x – 3 = 0

x² + x – 2 = 0


բ) (x² – x)² – (x² – x) + 12 = 0       

 y² – y + 12 = 0

D = 1 – 48 = – 47 

D < 0,   հավասարումը լուծում չունի

գ) * x⁵ + x⁴ – 6x³ – 6x² + 5x + 5 = 0

x⁴ (x + 1) – 6x² (x + 1) + 5 (x + 1) = 0

(x + 1) (x⁴ – 6x² + 5) = 0

(x + 1) (y² – 6y + 5) = 0

D = 36 – 20 = 16

y (x) = 6 + 4 / 2 = 5

y (x) = 6 – 4 / 2 = 1

x₁ = ±1

x₂ = ±√5

Առաջադրանքներ

Վիետի թեորեմ

x²+px+q=0

x₁x₂=q

x₁+x₂=-p

1․Կազմի՛ր քառակուսի հավասարում,որի արմատներն են․

1) 2 և 3

2) 6 և-1

3) -5 և -3

4)1 և -2  

5)3 և 0

6)  3 և 3

7) -2 և -2

8) -1 և -4

1. x²-5x+6=0

2․ x²-5x-6=0

3․ x²+8x+15=0

4․x²+x-2=0

5․ x²-3x=0

6․ x²-6x+9=0

7. x²+4x+4=0

8. x²+5x+4=0 

1. Լուծել անհավասարումը․

1. Պատ․՝ 4) [-2, 3)

2. Պատ․՝ 3) x ∈ (-∞; -3/2) ⋃ (5/2; ∞)

3. Պատ․՝ 4) (-∞; -4)

4. Պատ․՝ 2) (3;5)

2․ Լուծել անհավասարումը․

1․ Պատ․՝ 3) [-1; 3]

2. Պատ․՝ 1) (-∞; -2) ⋃ (8; ∞)

3. Պատ․՝ 3) (-∞; 8)

1․Որոշի՛ր քառակուսային եռանդամի  ավագ և միջին անդամների գործակիցներն ու ազատ անդամը:

ax² +bx+c

x²+6x+8 

-x² -5x+7

3-2x²-x =-2x²-x+3

7-6x²=-6x² +7

2.Գտի՛ր 3x^2-7x+8  եռանդամի արժեքը,երբ 

x=2 ,      x=-1  ,   x=1/3  ,    x=-2/3  

x=2

3*2²-7*2+8 = 12-14+8 =6

x=-1

3*-1²-7*-1+8 = 3-1-7-1+8=2

x=1/3

3*1/3²-7*1/3+8=1/3 — 7/3+8=6

x=-2/3  

3*-2/3²-7*-2/3+8 = 4/3 +14/3+8 = 14

3.Ներկայացրու՛ քառակուսային եռանդամի տեսքով 

ա․(x+2)²-3=x²+4x+4-3= x²+4x+1

 (2x-1)²+5 = 4x²-4x+1+5=4x²-4x+6

-5(x-2)²+7 =-5(x²-4x+4)+7=-5x²+20x-20+7=-5x²+20x-13

4․Քառակուսային եռանդամից առանձնացրու երկանդամի քառակուսի

x²+4x+7 = (x+2)²+3

x²-6x+1=(x-3)²-8

y²+10y-7= (y+5)²-32

y²-30y+9= (y-15)-216²

-y²-y+5 =-1(y²+y-5) = -y²-y+5 =-1[(y²+y-5)=-1(y+0,5)²-5,25]

0,25+ x=-5

x=-5-0,25

x=-5,25

5.Երկու բնական  թվերի արտադրյալը հավասար է 198-ի։Գտի՛ր այդ թվերը,եթե հայտնի է,որ այդ թվերից մեկը 7-ով մեծ է մյուսից։

x, x+7

x*(x+7)=198 

x²+7x-198=0  

D= 49+792=841

x=(-7+29)/2=11 

x=(-7-29)/2=-18

6․Գտի՛ր երեք հաջորդական թվեր,որոնց քառակուսիների  գումարը հավասար է 590-ի ։

13²+14²+15²=59

Պատ․՝ 13, 14, 15։

1․Որոշի՛ր քառակուսային եռանդամի  ավագ և միջին անդամների գործակիցներն ու ազատ անդամը:

ax² +bx+c

x²+6x+8 

-x² -5x+7

3-2x²-x =-2x²-x+3

7-6x²=-6x² +7

2.Գտի՛ր 3x^2-7x+8  եռանդամի արժեքը,երբ 

x=2 ,      x=-1  ,   x=1/3  ,    x=-2/3  

x=2

3*2²-7*2+8 = 12-14+8 =6

x=-1

3*-1²-7*-1+8 = 3-1-7-1+8=2

x=1/3

3*1/3²-7*1/3+8=1/3 — 7/3+8=6

x=-2/3  

3*-2/3²-7*-2/3+8 = 4/3 +14/3+8 = 14

3.Ներկայացրու՛ քառակուսային եռանդամի տեսքով 

ա․(x+2)²-3=x²+4x+4-3= x²+4x+1

 (2x-1)²+5 = 4x²-4x+1+5=4x²-4x+6

-5(x-2)²+7 =-5(x²-4x+4)+7=-5x²+20x-20+7=-5x²+20x-13

4․Քառակուսային եռանդամից առանձնացրու երկանդամի քառակուսի

x²+4x+7 = (x+2)²+3

x²-6x+1=(x-3)²-8

y²+10y-7= (y+5)²-32

y²-30y+9= (y-15)-216²

-y²-y+5 =-1(y²+y-5) = -y²-y+5 =-1[(y²+y-5)=-1(y+0,5)²-5,25]

0,25+ x=-5

x=-5-0,25

x=-5,25

5.Երկու բնական  թվերի արտադրյալը հավասար է 198-ի։Գտի՛ր այդ թվերը,եթե հայտնի է,որ այդ թվերից մեկը 7-ով մեծ է մյուսից։

x, x+7

x*(x+7)=198 

x²+7x-198=0  

D= 49+792=841

x=(-7+29)/2=11 

x=(-7-29)/2=-18

6․Գտի՛ր երեք հաջորդական թվեր,որոնց քառակուսիների  գումարը հավասար է 590-ի ։

13²+14²+15²=59

Պատ․՝ 13, 14, 15։

1․Ես մտապահեցի մի թիվ, նրան ավելացրի 1, ստացվածը բազմապատկեցի 2-ով, այնուհետև բաժանեցի 3-ի և արդյունքից հանեցի 4 ստացվեց 5: Ի՞նչ թիվ էի մտապահել:

((((x+1)*2):3)-4)=5

x=12,5

2․Երկնիշ թվին ձախից և աջից կցագրեցին 1 թվանշանը: Արդյունքում ստացվեց սկզբնականից 23 անգամ մեծ թիվ: Գտեք երկնիշ թիվը:

10x+1001=23x

1001=13x

x=77

3․Գտնել հավասարման արմատների գումարը։
                        x(x+3)=15(x+3) 

x=15

15+15=30
4․Բարձրացնել քառակուսի
(x+5)^2=x^2+12x+25

(5z+t)^2=25z^2 +14zt+t^2

(x+1/2)^2=x^2+2x+1
(x^3-y)^2=z^6-2yx^3 +y^2

5․Անջատել լրիվ քառակուսի

ա ) x²+12x-3=

բ) -2x²-6x+12=

6 Բազմանդամը ներկայացրեք տարբերության քառակուսու տեսքով.

ա) 4x^2-4xy+y^2=(2-y)^2

բ) 9m^2-6m+1=(-3m+1)^2

գ) 25-30c+9c^2=(-5+3c)^2

7.Նավակի արագությունը գետի հոսանքի ուղղությամբ 16 կմ/ժ է, իսկ հոսանքին հակառակ ուղղությամբ՝ 10 կմ/ժ։ Քանի՞ կմ/ժ է նավակի արագությունը կանգնած ջրում։

x+y=16

x-y=10

x=15

8.Գտնել (x-4)(2x+6)<0 անհավասարման ամենամեծ բնական արմատը։

x—ի ամենամեծ արժեքը -1—ն է։

1․Ես մտապահեցի մի թիվ, նրան ավելացրի 1, ստացվածը բազմապատկեցի 2-ով, այնուհետև բաժանեցի 3-ի և արդյունքից հանեցի 4 ստացվեց 5: Ի՞նչ թիվ էի մտապահել:
Լուծում

10+1*2:3-4=5

5+4*3:2-1=10

x=10

2․Երկնիշ թվին ձախից և աջից կցագրեցին 1 թվանշանը: Արդյունքում ստացվեց սկզբնականից 23 անգամ մեծ թիվ: Գտեք երկնիշ թիվը:

3․Գտնել հավասարման արմատների գումարը։
                        x(x+3)=15(x+3) 

Լուծում

x² +3x=15x+45

x² +3x-15x-45=0

x²-12x-45=0

x² +3x-15x-45=0

x(x+3)-15(x+3)=0

(x+3)x(x-15)

x+3=0

x-15=0

x₁ =-3,x₂ =15
4․Բարձրացնել քառակուսի
(x+5)2=x²+25

(5z+t)2=

(x+12)2
(x3-y)2

5․Անջատել լրիվ քառակուսի

ա ) x²+12x-3

բ) -2x²-6x+12

6 Բազմանդամը ներկայացրեք տարբերության քառակուսու տեսքով.

ա) 4×2-4xy+y2

բ) 9m2-6m+1

գ) 25-30c+9c2:

7.Նավակի արագությունը գետի հոսանքի ուղղությամբ 16 կմ/ժ է, իսկ հոսանքին հակառակ ուղղությամբ՝ 10 կմ/ժ։ Քանի՞ կմ/ժ է նավակի արագությունը կանգնած ջրում։

8.Գտնել (x-4)(2x+6)<0 անհավասարման ամենամեծ բնական արմատը։

Առաջադրանքներ

1) Անվանեք քառակուսային եռանդամի a, b և c գործակիցները՝

ա) 3x²+4x+5

a=3, b=4, c=5

բ) 2x²-5x-7

a=2, b=-5, c=-7

գ) -5x²+3x-1

a=-5, b=3, c=-1

դ) 6x²+x-2

a=6, b=1, c=-2

ե) x²-x+7

a=1, b=-1, c=7

զ) -x²+x+1

a=-1, b=1, c=1

2) Հաշվեք քառակուսային եռանդամի տարբերիչը՝

ա) 2x²+5x+3

D=b²-4ac

D=25-24=1

բ) 2x²-5x-7

D=-25+56=31

գ) 2x²+5x-3

D=25+24=49

դ) 2x²-5x-3

D=-25+24=-1

ե) x²-4x+5

D=-16-20=36

զ) x²+6x+9

D=36-36=0

է) x²+2x+1

D=4-4=0

ը) -3x²+5x-2

D=25-24=1

թ) x²+2x+2

D=4-8=-4

3) Հաշվեք քառակուսային եռանդամի տարբերիչը․

ա) x²-9x-10

D=-81+40=-41

բ) x²-6x-7

D=-36+28=-8

գ) x²+x-42

D=1+168=169

դ) x²+x-56

D=1+224=225

ե) x²-5x-36

D=-25+144=119

զ) x²-21x-100

D=-441+100=-41

է) 2x²-x-1

D=-1+8=7

ը) 6x²+x-1

D=1+24=25

թ) 2x²+5x-3

D=25+24=49

ժ) 10x²+9x+2

D=81-80=1

ի) 5x²-22x+8

D=-484-160=-644

լ) 4z²+5z-6

D=25+96=121

խ) 12z²+25z+12

D=625-576=49

ծ) 3y²-10y-8

D=-100+96=-4

կ) 7y²-9y+2

D=-81-56=-137

(x+2)²

(x+2.5)² -12.25

(x-1,5)²-5,250

2*(x² -4x+3,5)=2((x-2)²-x0,5)

-4*(x²-2x-1,5)=2((x-1)²+0,75)

3*(x²-1x+0,5)= 3((x-0,5)²)

1. 2) 35
2. 3) 7
3. 1) 12
4. 2) 2

1. 3) 32
2. 4) 5
3. 4) 5
4. 1)156 420

1. 2) 15
2. 2) 29610
3. 3)29 180
4. 2) 2/5×1/2×2/5

1. 1) 14
2. 4) 9
3. 4)
4. 2)7

1. 3) 81
2. 4) 40542
3. 4) 36
4. 4)117